Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + m\) (m  là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho (P) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \(OA = 3OB.\) Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) với \(Ox\)  là \({x^2} - 4x + m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) cắt \(\left( {Ox} \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\Delta ' = 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4\)

Với \(m < 4\), phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right..\)

Hai giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và \(Ox\) là \(A\left( {{x_1};\,\,0} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,0} \right).\)

\( \Rightarrow OA = \left| {{x_A}} \right|;OB = \left| {{x_B}} \right|\)

Vì \(OA = 3OB \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3{x_2}\\{x_1} =  - 3{x_2}\end{array} \right.\)

+) Với \({x_1} = 3{x_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x_1}{x_2} = m \Leftrightarrow m = 3.\)

+) Với \({x_1} =  - 3{x_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1} =  - 3{x_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 6\\{x_2} =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x_1}{x_2} = m \Leftrightarrow m = 6.\left( { - 2} \right) =  - 12.\)

\( \Rightarrow S = 3 + \left( { - 12} \right) =  - 9\)