Cho $P = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$. Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$.

TH1: $\sqrt x$ là số vô tỉ thì $\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}$ là số vô tỉ hay $P$ là số vô tỉ (loại).

TH2: $\sqrt x$ là số nguyên.

Ta có: $P = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2 + 5}}{{\sqrt x  - 2}}$$= \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}$

Vì $1 \in \mathbb{Z}$ nên để $P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}$ nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} \in \mathbb{Z}$ hay $5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x  - 2} \right)$$\Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}$

+) $\sqrt x  - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow x = 49\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 =  - 5 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 3$ (vô nghiệm vì $\sqrt x  \ge 0$ với mọi $x \ge 0$)

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện là $x = 1;x = 9;x = 49$.