Cho \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Có bao nhiêu giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\).

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}\) là số vô tỉ hay \(P\) là số vô tỉ (loại).

TH2: \(\sqrt x \) là số nguyên.

Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2 + 5}}{{\sqrt x  - 2}} \)\(= \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}\)

Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên để \(P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} \in \mathbb{Z}\) hay \(5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x  - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}\)

+) \(\sqrt x  - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)\)

+) \(\sqrt x  - 2 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)

+) \(\sqrt x  - 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow x = 49\left( {tm} \right)\)

+) \(\sqrt x  - 2 =  - 5 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 3\) (vô nghiệm vì \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \( x \ge 0\))

Vậy có ba giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện là \(x = 1;x = 9;x = 49\).