Cho \(I = \int\limits_0^{\dfrac{x}{4}} {x{{\tan }^2}xdx} = \dfrac{\pi }{a} - \ln \sqrt b - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}}\) khi đó tổng \(a + b\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {xdx} \\\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {xdx} = \left. {\dfrac{\pi }{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}};\,\,\,\,{I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \end{array}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = dx}\\{v = \tan x}\end{array}} \right.} \right.\\{I_1} = x\tan x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan xdx} = \dfrac{\pi }{4} + \left. {\ln |\cos x} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. = \dfrac{\pi }{4} - \ln \sqrt 2 \\ \Rightarrow I = \dfrac{\pi }{4} - \ln \sqrt 2 - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}}\end{array}\)
Vậy \(a + b = 6\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
