Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\)có \(AB = a,\) đường thẳng \(A'B\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \({30^0}.\) Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì \(\Delta A'B'C'\) đều nên \(A'M \bot B'C'\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'M \bot B'C'\\A'M \bot BB'\,\,\left( {BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

\( \Rightarrow BM\) là hình chiếu của \(A'M\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;MB} \right) = \angle A'BM = {30^0}\).

Theo bài ra ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'M \bot BM\) \( \Rightarrow \Delta A'BM\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow BM = A'M.\cot {30^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BB'M\) ta có: \(BB' = \sqrt {B{M^2} - BB{'^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{A'B'C'}} = a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).