Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ Mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và vuông góc $S C$ cắt $S C, S B, S D$ lần lượt tại \({B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }\). Biết rằng \(3S{B^\prime } = 2SB\). Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích hai khối chóp \(S \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) và \(S \cdot ABCD\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) là

Ta có \(\dfrac{{S{B^\prime }}}{{SB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{S{D^\prime }}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\), bây giờ cần tìm \(\dfrac{{S{C^\prime }}}{{SC}}\)

Tọa độ hóa với \(Ox \equiv OC,Oy \equiv OB,OS \equiv Oz\) và đặc biệt hóa cho \(OA = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A( - 1;0;0)}\\{C(1;0;0),S(0;0;a) \Rightarrow \overrightarrow {SC} = (1;0; - a)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow (P):(x + 1) - az = 0 \Leftrightarrow x - az + 1 = 0.\end{array}\)

Cho giao với \((P) \Rightarrow {a^2}t + 1 = 0 \Rightarrow {B^\prime }\left( {0;1 - \dfrac{1}{{{a^2}}};\dfrac{1}{a}} \right)\).

Ta có:

 \(3\left( {0;1 - \dfrac{1}{{{a^2}}};\dfrac{1}{a} - a} \right) = 2(0;1; - a) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - \dfrac{3}{{{a^2}}} = 2}\\{\dfrac{3}{a} - 3a = - 2a}\end{array} \Rightarrow a = \sqrt 3 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S(0;0;\sqrt 3 )}\\{(P):x - z\sqrt 3 + 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Cho $SC$ giao với

\(\begin{array}{l}(P) \Rightarrow {C^\prime }\left( {\dfrac{1}{2};0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{S{C^\prime }}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{V_{S.A{B^\prime }{C^\prime }}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}}\\{\dfrac{{{V_{S.A{C^\prime }{D^\prime }}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}}\end{array} \Rightarrow {V_{S.A{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}.} \right.\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{3}\).