Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S,$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC.$ Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN,$ biết rằng mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi $K$ là trung điểm của $BC$ và $I = SK \cap MN$
Từ giả thiết $ \Rightarrow \,\,MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2},$ $MN\parallel BC$$ \Rightarrow \,\,I$ là trung điểm của $SK$ và $BC.$
Ta có $\Delta \,SAB = \Delta \,SAC$$ \Rightarrow $ Hai trung tuyến tương ứng $AM = AN.$
$ \Rightarrow \,\,\Delta \,AMN$ cân tại $A$$ \Rightarrow \,\,AI \bot MN.$ Mà $\left( {SBC} \right) \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$
$ \Rightarrow \,\,AI \bot SK.$
Suy ra tam giác $SAK$ cân tại $A\,\, \Rightarrow \,\,SA = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Khi đó $S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AI = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{{SK}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.$
Vậy diện tích tam giác $AMN$ là ${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{1}{2}MN.AI = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$
