Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định $k$ sao cho mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Vì $BC//AD$ nên mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ cắt $\left( {SAD} \right)$ theo đoạn thẳng $MN//AD\left( {N \in SD} \right)$

Vì \(MN//AD \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = k\)

$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k.{V_{S.ABC}} = \dfrac{k}{2}.{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2}.{V_{S.ADC}} = \dfrac{{{k^2}}}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.MNC}} = \left( {\dfrac{k}{2} + \dfrac{{{k^2}}}{2}} \right){V_{S.ABCD}}\end{array}$

Để mặt phẳng $\left( {BMNC} \right)$ chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì $\dfrac{k}{2} + \dfrac{{{k^2}}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ do $k > 0$.