Ta có: $\dfrac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}x \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}x$, $\dfrac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}y \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}y$.

$ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{x + y}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta lại có: $\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = xy \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{xy}}{2}$, $\dfrac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.BDC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}xy \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.ABCC}}}} = \dfrac{{xy}}{4}$.

$ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{xy}}{2} + \dfrac{{xy}}{4} = \dfrac{{3xy}}{4}\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{4} = \dfrac{{3xy}}{4} \Leftrightarrow x + y = 3xy$$ \Leftrightarrow x = \left( {3x - 1} \right)y \Leftrightarrow y = \dfrac{x}{{3x - 1}}\,\,\left( {x \ne \dfrac{1}{3}} \right)$.

Do $x,\,\,y > 0 \Rightarrow 3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{3}$.

Khi đó ta có $\dfrac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}\left( {x + \dfrac{x}{{3x - 1}}} \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = x + \dfrac{x}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \dfrac{1}{3}} \right)$ ta có:

$f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 1\\3x - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\min {V_{S.AMNE}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{3}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}$ $ \Rightarrow \max {V_{ABCDNEM}} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABCD}}$.

Ta có: $\Delta ABD$ đều cạnh 2 $\left( {AB = AD,\,\angle BAD = {{60}^0}} \right)$ $ \Rightarrow {S_{ABD}} = \dfrac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2\sqrt 3 $.

Tam giác $ABD$ đều cạnh 2 $ \Rightarrow $$BD = 2$, lại có tam giác $SBD$ vuông cân tại $S$ nên $SO = \dfrac{1}{2}BD = 1$.

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.1.2\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy ${V_0} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{9}$.

Hướng dẫn giải:

- Đặt $\dfrac{{SM}}{{SB}} = x,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = y\,\,\left( {0 < x,\,\,y < 1} \right)$. Tính ${V_{S.AMNE}}$ theo ${V_{S.ABCD}}$ theo 2 cách: ${V_{S.AMNE}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.MNE}}$, ${V_{S.AMNE}} = {V_{S.AME}} + {V_{S.ANE}}$ dựa vào công thức tỉ số thể tích.

- Rút $x$ theo $y$ hoặc ngược lại.

- Suy ra biểu thức tính tỉ số $\dfrac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$ theo $x$ hoặc $y$, sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.

- Suy ra tỉ số lớn nhất của $\dfrac{{{V_{ABCDNEM}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$.

- Tính ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$, với $O = AC \cap BD$, sau đó suy ra ${V_0}$.