Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,\,AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $BC$ tạo với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ góc ${30^0}.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ đều $ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\SI \bot AB\end{array} \right.$
Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$$ \Rightarrow $$SI \bot \left( {ABC} \right)$; $\left\{ \begin{array}{l}SI \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right).$
Kẻ $BK$ vuông góc với $SA$ tại $K,$ vì \(AC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(AC \bot BK \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\) và $BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Do đó, góc giữa $BC$ và $mp\,\,\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {BCK}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {BCK} = {30^0}.$
Khi đó $BC = \dfrac{{BK}}{{\sin \widehat {BCK}}} = a\sqrt 3 \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 .$
Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
