Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Trả lời bởi giáo viên
\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m(1 - my) - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y({m^2} + 1) = 2m\end{array} \right.\)
Do: \({m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} \Rightarrow x = 1 - my = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\)
Xét: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{{4{m^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} + \dfrac{{{{(1 - {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{{(1 + {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1\)
Vậy \({x^2} + {y^2} = 1\) không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Hướng dẫn giải:
+ Rút \(x\) theo \(y\) ở phương trình đầu tiên rồi thế xuống phương trình dưới ta được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\)
+ Từ phương trình ẩn \(y\) ta biểu diễn \(y\) theo \(m.\) Từ đó biểu diễn \(x\) theo \(m.\)
+ Biến đổi để có biểu thức giữa \(x;y\) không chứa \(m.\)