Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm điều kiện của m để \(x > 1\) và \(y > 0.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\m\left( {2 - 2y} \right) - y = m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\\left( {2m + 1} \right)y = m\end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m \ne  - \dfrac{1}{2} $

Suy ra $y = \dfrac{m}{{2m + 1}} \Rightarrow x = 2 - 2.\dfrac{m}{{2m + 1}}$$ \Rightarrow x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right.$

Để $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} > 1\\\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{2m + 1}} > 0\\\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{2}\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow m > 0$

Kết hợp điều kiện $m \ne  - \dfrac{1}{2}$ ta có $m>0.$