Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx + (m + 2)y = 5\\x + my = 2m + 3\end{array} \right.$. Để hệ phương trình có duy nhất $1$ cặp nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số $m$ là:

Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 2}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2$

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{m + 2}\\{2m + 3}&m\end{array}} \right| = 5m - \left( {m + 2} \right)\left( {2m + 3} \right) =  - 2{m^2} - 2m - 6$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&5\\1&{2m + 3}\end{array}} \right| = 2{m^2} + 3m - 5$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D ≠ 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.$

Khi đó: $x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}};y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}}$

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + m + 3}}{{{m^2} - m - 2}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0$ (Vì ${m^2} + m + 3 = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall m) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)$    

$(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 > 0\\{m^2} - m - 2 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 < 0\\{m^2} - m - 2 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{5}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\ - 1 < m < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{5}{2} < m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\ - \dfrac{5}{2} < m <  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {**} \right)$

Từ (*) và (**) suy ra $ - \dfrac{5}{2} < m <  - 1$