Cho hàm số $y = {x^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4\sqrt 2 $ là

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + 1 - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {{m^2} - 1} \end{array} \right.\end{array}\)

Điều kiện để hàm số có $3$ cực trị: \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right)\\x =  - \sqrt {{m^2} - 1}  \Rightarrow y = {\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow y = {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} - 2{\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1 =  - {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow B\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\\x = \sqrt {{m^2} - 1}  \Rightarrow C\left( {\sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = 4\sqrt 2  \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {HC} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {{x_C}} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {m + 1 + {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} - m - 1} \right|.\sqrt {{m^2} - 1}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}.\sqrt {{m^2} - 1}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^5} = 32 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \end{array}\)

\(m =  \pm \sqrt 3 \) thỏa mãn điều kiện\(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\)