Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
Trả lời bởi giáo viên
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
$y' = 3{x^2} - 6mx.$
Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 6 \hfill \\x = 2m \Rightarrow y = - 4{m^3} + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \Rightarrow y=6 \\ x=2 m \Rightarrow y=-4 m^{3}+6\end{array}\right.$
Xét TH1: $m = 0$. Hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$ $ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow $ loại.
Xét TH2: $m \geqslant \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2m \ge 3 > 0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]$
$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}} < \dfrac{3}{2}$(loại)
Xét TH3: $\dfrac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( {0;6} \right)$ và điểm cực tiểu là $\left( {2m, - 4{m^3} + 6} \right).$
Khi đó , GTNN trên $\left[ {0;3} \right]$ là $y\left( {2m} \right) = - 4{m^3} + 6$ $ \Rightarrow - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)
Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[ {0;3} \right]$ hàm số đồng biến.
$ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow $ loại.
Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
- Tính $y'$ và tìm nghiệm của $y' = 0$.
- Biện luận các trường hợp điểm $x = 3$ nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.
Các TH cần xét:
1) $m=0$
2) $m>0$ ta có $0<2m$ nên chia thành 2 TH nhỏ: $0<2m<3$ và $0<3 \le 2m$
3) $m<0$ ta có $2m<0 $ nên ta có luôn $2m<0<3$
Giải thích thêm:
HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận $m = \dfrac{{31}}{{27}}$ mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là $m \geqslant \dfrac{3}{2}$.