Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng \(d:x + 4y - 5 = 0\) một góc \(\alpha  = {45^0}.\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - m.\)

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m >  - 3.\)

Ta có \(y = y'.\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}.\)

\( \Rightarrow \) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là \(\Delta :y =  - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}.\)

Đường thẳng \(d:x + 4y - 5 = 0\) có một VTPT là \({\vec n_d} = \left( {1;4} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta :y =  - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}\) có một VTPT là \({\vec n_\Delta } = \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2;1} \right).\)

Ycbt \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0} = \left| {{\rm{cos}}\left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_\Delta }} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {1.\left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)}^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow 60{m^2} + 264m + 117 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\m =  - \dfrac{{39}}{{10}}\;\end{array} \right. \Rightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\) (do \(m >  - 3\))