Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 4\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho tam giác \(KBC\) có diện tích bằng \(8\sqrt 2 \) với điểm \(K\left( {1;3} \right)\) là:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).