Cho hàm số y=x3+2mx2+(m+3)x+4(Cm). Giá trị của tham số m để đường thẳng (d):y=x+4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;4),B,C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8√2 với điểm K(1;3) là:
Trả lời bởi giáo viên
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:
x3+2mx2+(m+3)x+4=x+4⇔x3+2mx2+(m+2)x=0⇔x(x2+2mx+m+2)=0⇔[x=0x2+2mx+m+2=0(1)
Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇒{Δ;>00+2m.0+m+2≠0⇔{m2−m−2>0m≠−2⇔{[m>2m<−1m≠2 .
Gọi x1;x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1) ⇒B(x1;x1+4);C(x2;x2+4).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: {x1+x2=−2mx1.x2=m+2.
Ta có: SKBC=12.d(K,BC).BC.
Phương trình đường thẳng (d):y=x+4⇔x−y+4=0.
Vì B,C thuộc đường thẳng (d) nên ta có: d(K,BC)=d(K;d)=|1−3+4|√12+(−1)2=√2.
BC=√(x2−x1)2+(x2+4−x1−4)2BC=√2(x1−x2)2BC=√2.√(x1+x2)2−4x1x2BC=√2.√4m2−4(m+2)BC=2√2.√m2−m−2
Theo bài ra ta có:
SKBC=8√2⇔12.√2.2√2√m2−m−2=8√2⇔√m2−m−2=4√2⇔m2−m−2=32⇔m2−m−34=0⇔m=1±√1372(tm)
Vậy m=1±√1372.
Hướng dẫn giải:
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm mối quan hệ giữa x1,x2 là hoành độ của B,C.
+ Viết công thức tính diện tích tam giác KBC và tìm m.