Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giả sử, đường thẳng \(d:y = kx + m\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác \(\Delta OAB\) cân tại gốc tọa độ O. tổng \(k + m\) có giá trị bằng

Chỉ được phép điền số 0, nguyên âm, nguyên dương và phân số dạng a/b

Đáp án:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến \(d:y = kx + m\) cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên \(m \ne 0,k \ne 0\).

Do \(A \in Ox\) nên \(A\left( { - \dfrac{m}{k};0} \right),B \in Oy\) nên \(B\left( {0;m} \right)\).

Do tam giác \(\Delta OAB\) cân tại gốc tọa độ O nên

\(OA = OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{m}{k}} \right| = \left| m \right|\)\( \Leftrightarrow {m^2}\left( {\dfrac{1}{{{k^2}}} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 1\end{array} \right.\)

Do \(k = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} < 0\) nên \(k =  - 1\)

Suy ra \(\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} = 1\\{x_0} =  - 2 \Rightarrow {y_0} = 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( { - 1;1} \right)\) là: \(y =  - \left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - x\)(Loại)

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( { - 2;0} \right)\) là: \(y =  - \left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow y =  - x - 2\)

Khi đó: \(k + m =  - 1 - 2 =  - 3\)