Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)^{3}\left[x^{2}+(4 m-5) x+m^{2}-7 m+6\right], \forall x \in \mathbb{R}$. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $g(x)=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị ?

Ta có:

+) $x=1$ là nghiệm bội ba của phương trình $(x-1)^{3}=0$.

+) Hàm $g(x)=f(|x|)$ là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục $\mathrm{Oy}$ làm trục đối xứng.

Do đó hàm $g(x)=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Hàm số $y=f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị dương

$\Leftrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ có đúng 2 nghiệm dương phân biệt và $f^{\prime}(x)$ đổi dấu khi qua 2 nghiệm này

$\Leftrightarrow h(x)=x^{2}+(4 m-5) x+m^{2}-7 m+6$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} \leq 0<x_{2} \neq 1$

$\left\{ \begin{array}{l}h\left( 1 \right) \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 6 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 6 = 0\\ - \left( {4m - 5} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1,m \ne 2\\\left[ \begin{array}{l}1 < m < 6\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 6\end{array} \right.\\m < \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in\{3 ; 4 ; 5\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.