Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)=(x-1)^{3}\left[x^{2}+(4 m-5) x+m^{2}-7 m+6\right], \forall x \in \mathbb{R}\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị ?

Ta có:

+) \(x=1\) là nghiệm bội ba của phương trình \((x-1)^{3}=0\).

+) Hàm \(g(x)=f(|x|)\) là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục \(\mathrm{Oy}\) làm trục đối xứng.

Do đó hàm \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) Hàm số \(y=f(x)\) có đúng 2 điểm cực trị dương

\(\Leftrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt và \(f^{\prime}(x)\) đổi dấu khi qua 2 nghiệm này

\(\Leftrightarrow h(x)=x^{2}+(4 m-5) x+m^{2}-7 m+6\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1} \leq 0<x_{2} \neq 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}h\left( 1 \right) \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 6 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 6 = 0\\ - \left( {4m - 5} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1,m \ne 2\\\left[ \begin{array}{l}1 < m < 6\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 6\end{array} \right.\\m < \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in\{3 ; 4 ; 5\}\). Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.