Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn [0;5] là đường gấp khúc như hình vẽ. Tính tích phân \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} \)

Bước 1: Tách \(I = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \) thành tích phân trên các đoạn \(\left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right];\left[ {\dfrac{1}{2};4} \right];\left[ {4;5} \right]\)

Gọi A, B, C, D, E, F,G lần lượt là các điểm như hình vẽ.

Xét \(I = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \) \( = \int\limits_0^{\dfrac{1}{2}} {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^4 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \)

\( =  - {S_{OAB}} + {S_{BCDE}} - {S_{EFG}}\)

Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác và hình thang đề tính diện tích từng đoạn rồi tính tích phân cần tìm.

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.OB = \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\\{S_{BCDE}} = \dfrac{1}{2}.1.\left( {2 + \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{{11}}{4}\\{S_{EFG}} = \dfrac{1}{2}.EG.FG = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I =  - \dfrac{1}{4} + \dfrac{{11}}{4} - \dfrac{1}{2} = 2\\ \Rightarrow \int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx}  = 2\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}  - 5\\ = 2I - 5 =  - 1\end{array}\)