Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a.$ Khoảng cách giữa $\left( {AB'C} \right)$ và $\left( {A'DC'} \right)$ bằng:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'C'//AC\\DC'//AB'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'C'D} \right)//\left( {ACB'} \right)\)

Gọi \(O'\) là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$.

Ta có $d\left( {\left( {AB'C} \right),\left( {A'DC'} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'DC'} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {A'DC'} \right)} \right)$

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(D'\) trên \(O'D\).

Vì \(D'O' \bot A'C',DO' \bot A'C'\) nên \(A'C' \bot \left( {{\rm{DOD}}'} \right) \Rightarrow A'C' \bot D'I\).

Mà \(D'I \bot DO'\) nên \(I\) là hình chiếu của \(D'\) trên $\left( {A'DC'} \right)$.

$ \Rightarrow d\left( {\left( {AB'C} \right),\left( {A'DC'} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {A'DC'} \right)} \right) = D'I = \dfrac{{D'O'.D'D}}{{\sqrt {D'{{O'}^2} + D'{D^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$