Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(\tan x) = {\cos ^4}x,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \(t = \tan x\). Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {t^2}\\ \Rightarrow {\cos ^4}x = \dfrac{1}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}} \Rightarrow f(t) = \dfrac{1}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} \)
Đặt \(x = \tan u,\left( {\dfrac{{ - \pi }}{2} < x < \dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow {\rm{d}}x = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right){\rm{d}}u\);
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow u = 0;x = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\).
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{1 + {{\tan }^2}u}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}^2}}}du} \\ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}\;{\rm{d}}u} \\ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}udu} \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}u + \dfrac{1}{4}\sin 2u} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{2 + \pi }}{8}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến: Đặt \(x = \tan u,\left( {\dfrac{{ - \pi }}{2} < x < \dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
