Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:

Ta có: \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\) \( \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\).

Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:

\(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {x{e^{{x^2}}}dx} \,\,\left( * \right)\).

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx} \).

Đặt \(t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t =  - 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\), khi đó ta có: \({I_1} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).

Xét \({I_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx} \).

Đặt \(u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}du\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow u = 0\\x = 0 \Rightarrow u =  - 1\end{array} \right.\), khi đó ta có \({I_2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{ - 1} {f\left( u \right)du}  =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).

Xét \({I_3} = \int\limits_{ - 1}^0 {x{e^{{x^2}}}dx} \)

Đặt \(v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}dv\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow v = 1\\x = 0 \Rightarrow v = 0\end{array} \right.\), khi đó ta có \({I_3} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^0 {{e^v}dv}  = \dfrac{1}{2}\left. {{e^v}} \right|_1^0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e}{2} = \dfrac{{1 - e}}{2}\).

Thay tất cả vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{1 - e}}{2}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{6}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{1 - e}}{2}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = 3\left( {e - 1} \right)\end{array}\)