Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;2} \right]\)và thỏa mãn điều kiện \(f(x) = \sqrt {x + 2}  + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt {x + 2}  + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx}  + \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx} \\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}\end{array}\)

Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {x + 2} \) \( \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = 2\int\limits_1^2 {{t^2}dt}  = \left. {\dfrac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \dfrac{{14}}{3}.\)

Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx} \).

Đặt \(u = 3 - {x^2} \Rightarrow du =  - 2xdx\) \( \Rightarrow xdx =  - \dfrac{1}{2}du\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 2\\x = 2 \Rightarrow u =  - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_2^{ - 1} { - \dfrac{1}{2}f\left( u \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2}I\).

Vậy \(I = \dfrac{{14}}{3} + \dfrac{1}{2}I \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}I = \dfrac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \dfrac{{28}}{3}\).