Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\), \(F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\) là một nguyên hàm của \(2020x.{e^x}\). Họ các nguyên hàm của \({f^{2020}}\left( x \right)\) là:

Vì \(F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\) là một nguyên hàm của \(2020x.{e^x}\) nên

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2020x.{e^x}\\ \Leftrightarrow 2020{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = 2020x.{e^x}\\ \Leftrightarrow {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = x.{e^x}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx}  = \int {x.{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int {{f^{2019}}\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]}  = x.{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^{2020}}\left( x \right)}}{{2020}} = x.{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x} + 2020C\end{array}\)

Có \(f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 0 = 2020C \Leftrightarrow C = 0\), do đó \({f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x}\).

\( \Rightarrow I = \int {{f^{2020}}\left( x \right)dx}  = \int {2020\left( {x - 1} \right){e^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx}  + C} \right]\\ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - {e^x} + C} \right]\\ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 2} \right){e^x} + C} \right]\\ \Leftrightarrow I = 2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C\end{array}\)