Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\), \(F\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} - x\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Họ các nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là:

Ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - {e^x} - 1 = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - f\left( x \right) = {e^x} + 1\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f'\left( x \right) - {e^{ - x}}.f\left( x \right) = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \left[ {{e^{ - x}}.f\left( x \right)} \right]' = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \int {\left[ {{e^{ - x}}.f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int {\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f\left( x \right) = x - {e^{ - x}} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = x.{e^x} - 1 + C.{e^x}\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f\left( 0 \right) =  - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = x.{e^x} - 1 + 2{e^x} = \left( {x + 2} \right){e^x} - 1\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left[ {\left( {x + 2} \right){e^x} - 1} \right]dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx}  - \int {dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int {{e^x}dx}  - x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} - x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\end{array}\)