Cho hàm số \(f(x) = 3{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có ba điểm cực trị là \( - 2\), \( - 1\) và 1. Gọi \(y = g(x)\) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) bằng

Ta có: \({f^\prime }(x) = 12{x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c\)

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12a - 4b + c = 96}\\{3a - 2b + c = 12}\\{3a + 2b + c =  - 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b =  - 6}\\{c =  - 24}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow f(x) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d\)

Giả sử \(y = g(x) = a{x^2} + bx + c\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g( - 2) = 8 + d}\\{g( - 1) = 13 + d}\\{g(1) =  - 19 + d}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a - 2b + c = 8 + d}\\{a - b + c = 13 + d}\\{a + b + c =  - 19 + d}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 7}\\{b =  - 16}\\{c = 4 + d}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow y = g(x) =  - 7{x^2} - 16x + 4 + d\)

Ta có:\(f(x) - g(x) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - \dfrac{2}{3}}\\{x =  - 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm:

\(S = \int_{ - 2}^1 | f(x) - g(x)|dx\) \( = \int_{ - 2}^1 {\left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right|} dx\)

\( = \int_{ - 2}^{ - 1} {\left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right|} dx\) \( + \int_{ - 1}^{ - \dfrac{2}{3}} {\left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right|} dx\) \( + \int_{ - \dfrac{2}{3}}^1 {\left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right|} dx\)

\( = \dfrac{{2948}}{{405}}\)

Kết luận: \(S = \dfrac{{2948}}{{405}}\)