Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4}  + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\\\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $R.$

Ta có hàm số liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = \sqrt {2.2 - 4}  + 3 = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \) Hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right){\rm{  (1)}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right){\rm{  (2)}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{2 + 1}}{{{2^2} - 2m.2 + 3m + 2}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\end{array}\)

Thay \(m = 5\) vào \((1)\) ta được \({x^2} - 10x + 17 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).

Vậy với $m = 5$ thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).