Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức\(P = (2{x^2} + y)(2{y^2} + x) + 9xy\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}4 = {2^x} + {2^y} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^y}}  \Rightarrow 2 \ge \sqrt {{2^x}{2^y}} \\ \Rightarrow 4 \ge {2^{x + y}} \Rightarrow 0 < x + y \le 2\\ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 4\end{array}\)

Lại có \(x + y \ge 2\sqrt {xy}  \Rightarrow xy \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = 4{x^2}{y^2} + 2{x^3} + 2{y^3} + 10xy\\ = 4{\left( {xy} \right)^2} + 10xy + 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\\ = 4{\left( {xy} \right)^2} + 10xy \\+ 2.\left( {x + y} \right).\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right]\\ \Rightarrow P \le 4{\left( {xy} \right)^2} + 10xy + 2.2.\left( {4 - 3xy} \right)\\ \Rightarrow P \le 4{\left( {xy} \right)^2} - 2xy + 16\end{array}\)

Đặt \(xy = t \Rightarrow 0 < t \le 1\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t + 16\) trên \(\left( {0;1} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( t \right) \le \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 0 \right)} \right\} = 18\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1\).

Vậy \({P_{\max }} = 18 \Leftrightarrow x = y = 1\).