Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {x - 1} \right) + {x^2} - 2x\) đồng biến trên khoảng?
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(y' = f'\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\).
Đặt \(t = x - 1\) ta có \(f'\left( t \right) + 2t = 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( t \right) - \left( { - 2t} \right) = 0\).
Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = - 2t\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Xét \(y' \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge - 2t \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = - 2t\).
Xét \(x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \) thỏa mãn.
Xét \(x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.
Xét \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.
Xét \(x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.