Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $M$ và $N$ sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chọn câu đúng nhất.

Ta có: \(BM = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BMC\) cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

  \( \Rightarrow \widehat {MCB} = \widehat {CMB}\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCM} + \widehat {MCA} = \widehat {ACB} = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat {CMH} + \widehat {MCH} = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MCN}\)

Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MNC\) có:

$MC$  chung

\(\widehat {MCH} = \widehat {MCN}\left( {cmt} \right)\)

\(NC = HC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {MHC} = {90^0}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow MN \bot AC\)  nên A đúng.

 Xét \(\Delta AMN\)  có $AN$  là đường vuông góc hạ từ $A$  xuống $MN$  và $AM$  là đường xiên nên suy ra \(AM > AN\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = BC\left( {gt} \right)\\HC = CN\left( {gt} \right)\\AM > AN\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BM + MA + HC > BC + CN + NA\)\( \Leftrightarrow AB + HC > BC + AC\)