Cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:

Gọi $M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận $x = 2 $ và $y = 1$ là

$S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \geqslant 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}}  = 2\sqrt 3 $

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 $

Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là ${M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$