Cho biểu thức $A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là M, m. Khi đó, $M + m =  ? $

$A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x$ $ - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x$ $ = 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$ $ - \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 2x$

$ = 2\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{{\cos }^2}2x} \right)$$ - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right) + \cos 2x$ $ = {\cos ^2}2x + \cos 2x$

Đặt $\cos 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó, $A = {t^2} + t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]$. Ta có:

$A = {t^2} + t = {\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} \ge  - \dfrac{1}{4}$ $ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} A =  - \dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m =  - \dfrac{1}{4}$.

$A = {t^2} + t$ $ = {t^2} - t + 2t - 2 + 2$$ = t(t - 1) + 2(t - 1) + 2$

$ = (t - 1)(t + 2) + 2 \le 2$ (vì $t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t - 1 \le 0,\,\,t + 2 > 0$)

$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{t \in \left [ { - 1;1} \right]} A = 2$ khi và chỉ khi $ t = 1 \Rightarrow M = 2$

Vậy, $M + m = 2 + \dfrac{{ - 1}}{4} = \dfrac{7}{4}$.