Cho  \(A = \left( {\dfrac{1}{{{2^2}}} - 1} \right).\left( {\dfrac{1}{{{3^2}}} - 1} \right).\left( {\dfrac{1}{{{4^2}}} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{{{{100}^2}}} - 1} \right)\)

Giá trị của biểu thức A là:

Hướng dẫn giải:

Ta có A là tích của \(99\) số âm , nên \(A < 0\) . Do đó:

\(A =  - \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right)\)\(\,...\left( {1 - \dfrac{1}{{{{100}^2}}}} \right)\)

Ta tách như sau:

\(1 - \dfrac{1}{{{2^2}}} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \)\(\,= \dfrac{{1.3}}{{{2^2}}}\)

\(1 - \dfrac{1}{{{3^2}}} = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\)\(\, = \dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}\)

.....

\(1 - \dfrac{1}{{{{100}^2}}} = 1 - \dfrac{1}{{10000}} = \dfrac{{9999}}{{{{100}^2}}} \)\(\,= \dfrac{{99.101}}{{{{100}^2}}}\)

Do đó:

\(A =  - \left( {\dfrac{{1.3}}{{{2^2}}}} \right..\dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}.\dfrac{{3.5}}{{{4^2}}}...\left. {\dfrac{{99.101}}{{{{100}^2}}}} \right)\)

\(A =  - \left( {\dfrac{{1.2.3...98.99}}{{2.3.4...99.100}}} \right..\left. {\dfrac{{3.4.5...100.101}}{{2.3.4...99.100}}} \right)\)

Rút gọn ta tìm được giá trị của biểu thức A.