Cho \(\int_1^2 {\dfrac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = a\ln 2 + b\ln 3\), với $a, b$ là các số hữu tỉ. Tính \(P = ab\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(I = \int_1^2 {\dfrac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = a\ln 2 + b\ln 3\).
Đặt
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln (1 + x)}\\{{\rm{d}}v = \dfrac{1}{{{x^2}}}\;{\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{du}} = \dfrac{1}{{1 + x}}\;{\rm{d}}x}\\{v = - \dfrac{1}{x}.}\end{array}} \right.} \right.\)
Khi đó \(I = - \left. {\dfrac{1}{x}\ln (1 + x)} \right|_1^2 + \int_1^2 {\dfrac{1}{{x(1 + x)}}} {\rm{d}}x = - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int_1^2 {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)} {\rm{d}}x\)
\( = - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \left. {\left( {\ln \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)} \right|_1^2 = - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + 2\ln 2 - \ln 3 = 3\ln 2 - \dfrac{3}{2}\ln 3.\)
Suy ra \(a = 3,b = - \dfrac{3}{2}\). Vậy \(P = ab = \dfrac{{ - 9}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
