Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))\cos (3x)dx = 3\) và \(\int_{\frac{1}{2}}^2 f (1 - x)dx = 4\). Tính \(I = \int_{ - 1}^0 f (x)d\)
$I=$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
$I=$
Bước 1: Tính \(\int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))d(\sin 3x) = 9\), \(\int_0^{\frac{1}{2}} f (x)dx\)
Ta có: \(\int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))\cos (3x)dx\)\( = \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))d(\sin 3x) = 3\)
\( \Rightarrow \int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))d(\sin 3x) = 9\)
\( \Rightarrow \int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))d(\sin 3x)\)\( = \int_0^{\frac{1}{2}} f (x)dx = 9\)
Bước 2: Tính \(\int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f (x) \cdot dx\) và \(I = \int_{ - 1}^0 f (x)d\)
Lại có \(\int_{\frac{1}{2}}^2 f (1 - x)dx = 4\). Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du = - dx\).
Đổi cận: \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2};x = 2 \Rightarrow t = - 1\).
\( \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^2 f (1 - x)dx\)\( = \int_{\frac{1}{2}}^{ - 1} f (u) \cdot ( - du)\)\( = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f (u) \cdot du = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f (x) \cdot dx = 4\)
Khi đó, \(I = \int_{ - 1}^0 f (x)dx\)\( = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f (x)dx - \int_0^{\frac{1}{2}} f (x)dx\)\( = 4 - 9 = - 5\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính \(\int_0^{\frac{\pi }{{18}}} f (\sin (3x))d(\sin 3x) = 9\), \(\int_0^{\frac{1}{2}} f (x)dx\)
Bước 2: Tính \(\int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f (x) \cdot dx\) và \(I = \int_{ - 1}^0 f (x)d\)
