Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = m\cos 4x + n\left( {m,n \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng \(S = m + n\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) $ = 1 - 2{\left( {\sin x\cos x} \right)^2}$ \( = 1 - 2{\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)^2}\)
$ = 1 - 2.\dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$
\( = 1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} \)$ = 1 - \dfrac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right) = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x$\(= \dfrac{1}{4}\cos 4x + \dfrac{3}{4}\)
\( \Rightarrow S = m + n = 1\)
Hướng dẫn giải:
Biến đổi \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) về làm xuất hiện \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)
Chú ý: $\sin 2x = 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x$
