Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2\\3{x^2} + \dfrac{5}{4} = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{4}x = 0\\3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.