Câu hỏi:
2 năm trước
Biết \(\int_1^2 {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln x}}} \;{\rm{d}}x = \ln (\ln a + b)\) với $a, b$ là các số nguyên dương. Tính \(P = {a^2} + {b^2} + ab\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(\int_1^2 {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln x}}} \;{\rm{d}}x = \int_1^2 {\dfrac{{x + 1}}{{x(x + \ln x)}}} {\rm{d}}x\).
Đặt \(t = x + \ln x \)
\(\Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right){\rm{d}}x \)\(= \dfrac{{x + 1}}{x}\;{\rm{d}}x\)
Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 1;x = 2 \Rightarrow t = 2 + \ln 2\).
Khi đó \(I = \int_1^{2 + \ln 2} {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{t}} = (\ln |t|)|_1^{2 + \ln 2} = \ln (\ln 2 + 2)\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 2}\end{array}} \right.\).
Vậy \(P = 12\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến: Đặt \(t = x + \ln x\).