Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?
Trả lời bởi giáo viên
ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$
Xét hàm số
$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $
$ \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định
Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 \Rightarrow $ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.
Do đó tổng $a + b = 5$.
Hướng dẫn giải:
Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $, từ đó tìm nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} = 2\sqrt 3 $ và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Giải thích thêm:
HS cần chú ý ở bước tìm tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \geqslant 2\sqrt 3 $, nhiều bạn sẽ kết luận nhầm tập nghiệm là $\left[ { - 2;1} \right]$ dẫn đến không tìm ra đáp án.