Với `a;b;c` là các số thực dương thỏa mãn `ab+bc+ca+abc=2`. Tìm max của `M=(a+1)/(a^2 +2a+2)+(b+1)/(b^2 +2b+2)+(c+1)/(c^2 +2c+2)`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Ta có :

`ab+bc+ac+abc=2`

`<=>(1+a)(1+b)(1+c)=(1+a)+(1+b)+(1+c)`

`<=>1/((1+a)(1+b))+1/((1+b)(1+c))+1/((1+c)(1+a))=1`

Đặt `x=1/(1+a),y=1/(1+b),z=1/(1+c)=>xy+yz+zx=1`

Ta có : `M=(a+1)/(a^2 +2a+2)+(b+1)/(b^2 +2b+2)+(c+1)/(c^2 +2c+2)`

`<=>M=(a+1)/((a+1)^2 +1)+(b+1)/((b+1)^2 +1)+(c+1)/((c+1)^2 +1)`

`<=>M=(1/x)/(1/(x^2)+1)+(1/y)/(1/(y^2)+1)+(1/z)/(1/(z^2)+1)`

`<=>M=x/(x^2 +1)+y/(y^2 +1)+z/(z^2 +1)`

`<=>M=x/((x+y)(x+z))+y/((y+z)(y+x))+z/((z+x)(z+y))`

`<=>M=(x(y+z)+z(z+x)+z(x+y))/((x+y)(y+z)(z+x))`

`<=>M=2/((x+y)(y+z)(z+x))`

Mà `9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y+z)(xy+yz+zx)`

`<=>x^2 y+y^2 z+z^2 x+xy^2 _yz^2 _zx^2 <=6xy` ( đúng vì BĐT Cô - si)

`=>M<=2/(8/9(x+y+z)(xy+yz+zx))=9/(4(x+y+z))<=9/(4 \sqrt{3})=(3\sqrt{3})/4` 

( Vì `(x+y+z)^2 >=3(xy+yz+zx)=3` )

Vậy $Max_M $ `=(3\sqrt{3})/4` khi `x=y=z=1/(\sqrt{3})<=>a=b=c=\sqrt{3}-1`