trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1) B(4:-3) và đường thẳng d : x + 4y -1 =0. Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông tại đỉnh C Ai giúp mình voii ạ

Đáp án:

Không có điểm $C$ thoả mãn.

Giải thích các bước giải:

$(d): x + 4y -1 =0 \Rightarrow x=1-4y\\ C \in (d) \Rightarrow C (1-4y_C;y_C)\\ \overrightarrow{CA}=(4y_C;1-y_C)\\ \overrightarrow{CB}=(4y_C+3;-y_C-3)$

$\Delta ABC$ vuông cân tại $C$

$\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} CA \perp CB \\ CA=CB\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}=0\\ CA^2=CB^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 4y_C(4y_C+3)-(1-y_C)(y_C+3)=0\\ (4y_C)^2+(1-y_C)^2=(4y_C+3)^2+(-y_C-3)^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 17 y_C^2 + 14 y_C - 3=0\\ 17 y_C^2 - 2 y_C + 1=17 y_C^2 + 30 y_C + 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 17 y_C^2 + 14 y_C - 3=0\\  32 y_C +17=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}  \left[\begin{array}{l} y_C=-1 \\ y_C=\dfrac{3}{17}\end{array} \right.\\  y_C=-\dfrac{17}{32}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow y_C \in \varnothing$

Vậy không có điểm $C$ thoả mãn.