Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(1;2), B(1;-2) . Tìm M trên đường thẳng y=1 sao cho MA-MB đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

\[M\left( {1;1} \right)\]

Giải thích các bước giải:

 M là điểm nằm trên đường thẳng \(y = 1\) nên \(M\left( {a;1} \right)\)

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} \left( {a - 1; - 1} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \\
\overrightarrow {BM} \left( {a - 1;3} \right) \Rightarrow BM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} \\
 \Rightarrow AM - BM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  - \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} \\
 = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1 - {{\left( {a - 1} \right)}^2} - 9}}{{\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} }} = \frac{{ - 8}}{{\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} }}\\
\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  \ge \sqrt {0 + 1}  = 1\\
\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9}  \ge \sqrt {0 + 9}  = 3\\
 \Rightarrow AM - BM \ge \frac{{ - 8}}{{1 + 3}} =  - 2
\end{array}\]

Dấu '=' xảy ra khi \(a = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\)

Vậy \( M\left( {1;1} \right)\) thì MA- MB đạt giá trị nhỏ nhất