Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(1;2), B(1;-2) . Tìm M trên đường thẳng y=1 sao cho MA-MB đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

$M\left( {1;1} \right)$

Giải thích các bước giải:

 M là điểm nằm trên đường thẳng $y = 1$ nên $M\left( {a;1} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AM} \left( {a - 1; - 1} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1} \\ \overrightarrow {BM} \left( {a - 1;3} \right) \Rightarrow BM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} \\  \Rightarrow AM - BM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  - \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} \\  = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1 - {{\left( {a - 1} \right)}^2} - 9}}{{\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} }} = \frac{{ - 8}}{{\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9} }}\\ \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}  \ge \sqrt {0 + 1}  = 1\\ \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 9}  \ge \sqrt {0 + 9}  = 3\\  \Rightarrow AM - BM \ge \frac{{ - 8}}{{1 + 3}} =  - 2 \end{array}$

Dấu '=' xảy ra khi $a = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)$

Vậy $M\left( {1;1} \right)$ thì MA- MB đạt giá trị nhỏ nhất