Trong mặt phẳng Oxy,cho tam giác ABC có A(2,4), B(1,1), C(-2,2). a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân b)Tính diện tích tam giác ABC và đường cao BH c)Tính chu vi tam giác ABC và độ dài đường trung tuyến BK d)Cho I(-7,0).Tính góc AIB , IAC. Mã 8-BVA

a) Ta có: $\vec{BA}=(1;3)\Rightarrow BA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$

$\vec{BC}=(-3;1)\Rightarrow BC=\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}$

$\Rightarrow BA=BC\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $B$

Lại có $\vec{BA}.\vec{BC}=1.(-3)+3.1=0$

$\Rightarrow\vec{BA}\bot \vec{BC}\Rightarrow BA\bot BC\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o$

$\Rightarrow ABC$ vuông cân đỉnh $B$

b) $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BA.BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{10}.\sqrt{10}=5$ (đơn vị diện tích)

$\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BA^2}+\dfrac{1}{BC^2}=2\dfrac{1}{BA^2}=2.\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow BH=\sqrt5$

c) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$

$AC^2=BC^2+BA^2=\sqrt{10}^2+\sqrt{10}^2=20$

$\Rightarrow AC=2\sqrt5$

$\Rightarrow P_{ABC}=BA+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt5=2\sqrt{10}+2\sqrt5$

Do $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh $B\Rightarrow$ trung tuyến $BK$ trùng với đường cao $BH$

$\Rightarrow BK=BH=\sqrt5$

d) $\vec{IA}=(9;4)\Rightarrow IA=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$,

$\vec{IB}=(8;1)\Rightarrow IB=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$

$\cos\widehat{AIB}=\cos(\vec{IA},\vec{IB})=\dfrac{\vec{IA}.\vec{IB}}{IA.IB}=\dfrac{9.8+4.1}{\sqrt{97}.\sqrt{65}}=\dfrac{76}{\sqrt{6305}}$

$\Rightarrow \widehat{AIB}=16,84^o$

$\vec{AC}=(-4;-2)\Rightarrow AC=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=2\sqrt5$

$\vec{AI}=(-9;-4)$, $AI=\sqrt{97}$

$\cos\widehat{IAC}=\cos(\vec{AC},\vec{AI})=\dfrac{\vec{AC}.\vec{AI}}{AC.AI}=\dfrac{-4(-9)+(-2)(-4)}{2\sqrt5.\sqrt{97}}=\dfrac{44}{2\sqrt{485}}$

$\Rightarrow \widehat{IAC}=2,6^o$