Trong mặt phẳng Oxy cho M(3,2) và N(6,4) .Tìm tọa độ P sao cho tam giác MNP vuông tại M và diện tích tam giác bằng 13/2(đvdt)

Đáp án:

\(P\left( {5; - 1} \right)\) hoặc \(P\left( {1;5} \right)\).

Giải thích các bước giải:

Gọi \(P\left( {x;y} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP}  = \left( {x - 3;y - 2} \right)\\\overrightarrow {MN}  = \left( {3;2} \right)\end{array}\)

Vì \(\Delta MNP\) vuông tại M

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MP \bot MN\\ \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN}  = 0\\ \Rightarrow 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y = 13\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{13 - 3x}}{2}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}MP = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\MN = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \\ \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MN.MP\\ \Rightarrow \dfrac{{13}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {13} \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 13\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{13 - 3x}}{2} - 2} \right)^2} = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + \dfrac{{{{\left( {9 - 3x} \right)}^2}}}{4} = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + \dfrac{{9{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{4} = 13\\ \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{4}{\left( {x - 3} \right)^2} = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\x - 3 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 5\) thì \(y =  - 1 \Rightarrow P\left( {5; - 1} \right)\).

Với \(x = 1\) thì \(y = 5 \Rightarrow P\left( {1;5} \right)\).

Vậy \(P\left( {5; - 1} \right)\) hoặc \(P\left( {1;5} \right)\).