Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: `A=(x^2-x+3)/(\sqrt{1-x^3})` với `x<1`

`A = (x^2 - x + 3)/\sqrt{1 - x^3}`

`= [(x^2 + x + 1) + 2(1 - x)]/\sqrt{(1 - x)(x^2 + x + 1)}`

Đặt: `\sqrt{x^2 + x + 1} = a` `⇒ a > 0`

`\sqrt{1 - x} = b`

`⇒ b > 0` `(`Vì: `x < 1)`

Ta có: `A = (a^2 + 2b^2)/(ab)`

`= a/b + (2b)/a`

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:

`A = a/b + (2b)/a` $\geqslant$ `2.\sqrt{frac{a}{b}.frac{2b}{a}} = 2\sqrt{2}`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: `a/b = (2b)/a`

`⇔ a^2 = 2b^2`

`⇒ x^2 + x + 1 = 2(1 - x)`

`⇔ x^2 + 3x - 1 = 0`

`Δ = 3^2 - 4.(-1) = 13 > 0`

`⇒` PT có `2` nghiệm phân biệt là:

$\left[\begin{matrix} x = \dfrac{- 3 + \sqrt{Δ}}{2} = \dfrac{- 3 + \sqrt{13}}{2}\\ x = \dfrac{- 3 - \sqrt{Δ}}{2} = \dfrac{- 3 - \sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$ $\text{(TMĐK)}$

Vậy GTNN của `A` là: `2\sqrt{2}` khi: $\left[\begin{matrix} x = \dfrac{- 3 + \sqrt{13}}{2}\\ x = \dfrac{- 3 - \sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$