tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m+x)x^2 + 4mx +1 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x

Đáp án:

$-\dfrac{3}{4} <m<1$ 

Giải thích các bước giải:

$(m+3)x^2 + 4mx +1 > 0 \ \forall \ x (1)\\ \circledast m=-3, (1) \Leftrightarrow -12x+1> 0 \ \forall \ x (\text{Không thoả mãn})\\ \circledast m\ne -3, (1): (m+3)x^2 + 4mx +1 > 0 \ \forall \ x (1)\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \Delta' <0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m+3>0 \\ (2m)^2- (m+3)<0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m>-3 \\ \ 4m^2- m-3<0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m>-3 \\ \ (m-1)(4m+3) <0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m>-3 \\ \ -\dfrac{3}{4} <m<1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow -\dfrac{3}{4} <m<1$

Vậy với $-\dfrac{3}{4} <m<1$ thì bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng.