Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+2=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ phân biệt sao cho $x_{1}\left(x_{2}-2 x_{1}\right)+x_{2}\left(x_{1}-2 x_{2}\right)+14=0$
2 câu trả lời
Điều kiện :
$x_{1} ; x_{2} \Leftrightarrow \Delta>0$
$\Delta=b^{2}-4 a c$
$\Leftrightarrow(2 m+1)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)>0$
$\Leftrightarrow 4 m^{2}+4 m+1-4 m^{2}-8>0$
$\Leftrightarrow 4 m-7>0$
$\Leftrightarrow m>\frac{7}{4}$
Theo định lí Vi-ét :
$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 m+1 \\ x_{1} x_{2}=m^{2}+2\end{array}\right.$
$x_{1}\left(x_{2}-2 x_{1}\right)+x_{2}\left(x_{1}-2 x_{2}\right)+14=0$
$\Leftrightarrow x_{1} x_{2}-2 x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-2 x_{2}^{2}+14=0$
$\Leftrightarrow 2 x_{1} x_{2}-2\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]+14=0$
$\Leftrightarrow-2\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+6 x_{1} x_{2}+14=0$
$\Leftrightarrow-2(2 m+1)^{2}+6\left(m^{2}+2\right)+14=0$
$\Leftrightarrow-8 m^{2}-8 m-2+6 m^{2}+12+14=0$
$\Leftrightarrow-2 m^{2}-8 m+24=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=2 & (Nhận) \\ m=-6 & (Loại)\end{array}\right.$
\( \Rightarrow \) $m=2$
Đáp án:
`m\in{2;-6}`
Giải thích các bước giải:
$\Delta^{'}=(2m+1)^2-4(m^2+2)=4m^2+4m+1-4m^2-8=4m-7\ge0$
`=>m>=7/4`
Theo Vi-ét ta có:
$\begin{cases} x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+2 \end{cases}$ $(1)$
Ta lại có:
$x_1(x_2-2x_1)+x_2(x_1-2x_2)+14=0$
`<=>2x_1x_2-2x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+14=0`
`<=>-2(x_1+x_2)^2+6x_1x_2+14=0` $(2)$
Thay $(1)$ vào $(2)$, ta được:
`-2(2m+1)^2+6(m^2+2)+14=0`
`<=>2m^2+8m-24=0`
$⇔\left[\begin{matrix} m=2 (C) \\ m=-6(L)\end{matrix}\right.$
Vậy `m=2`
