Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+2=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ phân biệt sao cho $x_{1}\left(x_{2}-2 x_{1}\right)+x_{2}\left(x_{1}-2 x_{2}\right)+14=0$

Điều kiện :

$x_{1} ; x_{2} \Leftrightarrow \Delta>0$

$\Delta=b^{2}-4 a c$

$\Leftrightarrow(2 m+1)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)>0$
$\Leftrightarrow 4 m^{2}+4 m+1-4 m^{2}-8>0$

$\Leftrightarrow 4 m-7>0$

$\Leftrightarrow m>\frac{7}{4}$

Theo định lí Vi-ét : 

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 m+1 \\ x_{1} x_{2}=m^{2}+2\end{array}\right.$

$x_{1}\left(x_{2}-2 x_{1}\right)+x_{2}\left(x_{1}-2 x_{2}\right)+14=0$ 

$\Leftrightarrow x_{1} x_{2}-2 x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-2 x_{2}^{2}+14=0$
$\Leftrightarrow 2 x_{1} x_{2}-2\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]+14=0$
$\Leftrightarrow-2\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+6 x_{1} x_{2}+14=0$
$\Leftrightarrow-2(2 m+1)^{2}+6\left(m^{2}+2\right)+14=0$
$\Leftrightarrow-8 m^{2}-8 m-2+6 m^{2}+12+14=0$
$\Leftrightarrow-2 m^{2}-8 m+24=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=2 & (Nhận) \\ m=-6 & (Loại)\end{array}\right.$

\( \Rightarrow \) $m=2$