Tìm số tự nhiên n để phân số 2n +1/n+2 rút gọn được VUI lòng đọc kỹ đề để giải giúp mik 🥺và mong giúp mik

Đáp án: $n=1$ hoặc $n=4$

Giải thích các bước giải:

Để phân số $\dfrac{2n+1}{n+2}$ rút gọn được thì $ƯCLN(2n+1,n+2)>1$

Đặt $d=ƯCLN(2n+1,n+2)(d\in N*;d>1)$

Do đó $\begin{cases} da=2n+1\\db=n+2 \end{cases}(ƯCLN(a,b)=1;a,b\leq d)$

$=>\begin{cases} da=2n+1\\2db=2(n+2)=2n+4 \end{cases}$

$=>2db-da=2n+4-(2n+1)$

$=>d(2b-a)=3$

$=>d(2b-a)=3=3.1=1.3$

Vì $d>1$ nên $d=3$

$=>2b-a=1$

$=>2b=a+1$

$=>b=\dfrac{a+1}{2}$

Do $2b$ luôn chẵn và $1$ lẻ nên $a$ lẻ

Mà $a\leq 3$ (vì $d=3$)

Nên $a=1$ hoặc $a=3$

$=>b=\dfrac{1+1}{2}=1$ hoặc $b=\dfrac{3+1}{2}=2$

$=>(a,b)=(1,1);(3,2)$

$=>\begin{cases} 2n+1=da=3.1=3\\n+2=3.1=3 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} 2n+1=da=3.3=9\\n+2=3.2=6 \end{cases}$

$=>n=1$ hoặc $n=4$

Vậy $n=1$ hoặc $n=4$