tìm m để phương trình x² - 2(m-1)x + m² - 3m =0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho T= x1² + x2² -(m-1) (x1+x2) +m² - 3m đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

\(m = \dfrac{1}{2}\).

Giải thích các bước giải:

\({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0\)

Ta có \(\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 3m = m + 1\).

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\, = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2.\left( {{m^2} - 3m} \right)\\\,\,\, = 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m\\\,\,\, = 2{m^2} - 2m + 4\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}T = x_1^2 + x_2^2 - \left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 3m\\T = 2{m^2} - 2m + 4 - 2{\left( {m - 1} \right)^2} + {m^2} - 3m\\T = 2{m^2} - 2m + 4 - 2{m^2} + 4m - 2 + {m^2} - 3m\\T = {m^2} - m + 2\\T = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\T = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Do \({\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4}\).

\( \Rightarrow \min T = \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\).