Tìm m để phương trình √x + √9-x = √-x ²+9x+m có nghiệm

Đáp án: - 9/4 ≤ m ≤ 10

Giải thích các bước giải:

Điều kiện 0 ≤ x ≤ 9 và - x² + 9x + m ≥ 0

Đặt y = √x(9 - x) ≥ 0 ⇒ y² = 9x - x² = 81/4 - (x - 9/2)² ≤ 81/4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 9/2 (*)

Cả 2 vế PT đều ≥ 0 nên có thể bình phương  lên kết hợp với (*) ta được hệ PT tương đương với PT ban đầu:

9 + 2√x(9 - x) = - x² + 9x + m

⇔ y² - 2y + m - 9 = 0 (2)

Gọi f(y) = y² - 2y + m - 9 Điều kiện để (2) có nghiệm là :

1) Δ' = 10 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 10 (*)

và để nghiệm không thỏa (1) thì m phảỉ đồng thời thỏa :

2) f(0) = m - 9 ≤ 0 ⇔ m < 9

3) f(9/2) = m + 9/4 ≤ 0 ⇔ m < - 9/4

⇔ Để nghiệm không thỏa (1) thì m < - 9/4 ⇔ Để nghiệm thỏa (1) thì m ≥ - 9/4 (**)

Kết hợp (*) và (**) có đáp số bài toán